Entrega Final - Series Cronológicas

Facultad de Ciencias Económicas y Administración - 2025 - UDeLaR

Se dispone de una serie mensual con la cantidad de clientes con deuda vigente en el Banco Santander en el período Diciembre - 2018 a Marzo - 2025.

Se utiliza como entrenamiento los datos hasta 2024, y luego para predecir las 3 observaciones referidas a 2025.

Una primera visualización de la serie permite identificar una clara tendencia creciente a lo largo del tiempo, especialmente a partir de 2020, con un aumento significativo hacia 2024.

En principio no se logra reconocer un comportamiento estacional evidente o un patrón repetitivo a intervalos fijos en la serie.

La variabilidad parece aumentar ligeramente con el nivel de la serie, lo que podría sugerir la necesidad de aplicar una transformación logarítmica a modo de homogeneizar la Varianza de la serie. El uso de dicha transformación se evaluará más adelante tomando como insumo el comportamiento de los residuos.

1 Análisis Inicial

1.1 Gráfico de la Serie Temporal

1.2 Estadísticas Descriptivas

Estadísticas Descriptivas de la Serie de Cantidad de Personas con Deuda

Estadística	Valor
Min.	332198
1st Qu.	353361
Median	394463
Mean	395286
3rd Qu.	432958
Max.	495587

2 Identificación del Modelo

2.1 Análisis en el Dominio del Tiempo

2.1.1 Función de Autocorrelación (FAC)

Se observa que la Función de Aucorrelación (FAC) decrece lentamente y de forma persistente, con coeficientes de autocorrelación significativos que se mantienen altos incluso en rezagos grandes y que, por ende, no se comportan de acuerdo al decaimiento exponencial que caracteriza a las series débilmente estacionarias¹. Esto es un fuerte indicio de que la serie no es estacionaria.

Además, las autocorrelaciones significativas en rezagos altos sugieren la presencia de una tendencia, detalle claramente observable al inspeccionar el gráfico de la serie.

2.1.2 Función de Autocorrelación Parcial (FACP)

La Función de Aucorrelación Parcial (FACP) muestra un coeficiente significativo en el primer rezago y luego decae rápidamente, no habiendo otro rezago que resulte significativo al nivel de significación usual del 5%.

Esto podría sugerir un componente AR(1) si la serie fuera estacionaria. Sin embargo, dada la FAC planteada anteriormente, se concluye de este primer análisis del Dominio del Tiempo en la necesidad de aplicar, al menos, una primera diferencia regular a la serie.

2.2 Análisis en el Dominio de Frecuencias

Mediante el Periodograma Suavizado de la serie es posible respaldar la idea de que la misma presenta una tendencia que debería ser modelada.

En particular, las frecuencias más próximas a 0, y por ende las asociadas a ciclos de período próximo a infinito (el componente tendencial) explica la mayor parte de la variabilidad de la serie².

2.3 Contraste de Raíces Unitarias

A la hora de determinar si la tendencia puede ser modelada de forma determinística o si la misma es resultado de la presencia de raíces unitarias se lleva acabo los Contrastes de Dickey-Fuller aumentado y KPSS.

2.3.1 Dickey-Fuller

En primera instancia se plantea el contraste seleccionando la cantidad de lags por medio de Criterios de Información (AIC y BIC) lo que resulta en la elección de \(p = 1\). Con este valor, sin embargo, no se logra el comportamiento deseado de los residuos (que los mismos sean autocorrelacionados), por lo que se procedió a probar con varios valores de lags adicionales. Esto resultó en la elección de \(p = 2\), con ambos coeficientes significativos a los niveles de significación usuales.

A continuación se presentan los resultados de la regresión auxiliar del test y los estadísticos de prueba.

Regresión del Test de Dickey-Fuller Aumentado

Characteristic	Beta	95% CI	p-value
(Intercept)	22,500	-25,491, 70,490	0.4
z.lag.1	-0.07	-0.22, 0.09	0.4
tt	212	-111, 534	0.2
z.diff.lag
z.diff.lag1	-0.48	-0.72, -0.23	<0.001
z.diff.lag2	-0.43	-0.66, -0.20	<0.001
Abbreviation: CI = Confidence Interval

Resultados del Test de Dickey-Fuller Aumentado

	Estadístico	VC.1.	VC.5.	VC.10.
tau3 (con tendencia)	-0.8745181	-4.04	-3.45	-3.15
phi2	9.9484835	6.50	4.88	4.16
phi3	2.3435201	8.73	6.49	5.47

Del contraste de Dickey-Fuller aumentado se concluye que:

• No se rechaza la Hipótesis Nula de que la Serie presente una raíz unitaria a ninguno de los niveles de significación planteados. De esta manera se tiene un respaldo para aplicar la Primera Diferencia Regular.

• PREGUNTAR (en base a phi3): Se rechaza la Hipótesis Nula de que \(b = 0, \gamma = 0\). Es decir, no hay raiz unitaria presente ni término de tendencia determinístico. Considerando el punto anterior esto sugiere que la serie no presenta una tendencia determinística que deba ser modelada.

• PREGUNTAR (en base a phi2): No se rechaza la Hipótesis Nula de que \(a = 0 , b = 0, \gamma = 0\).

2.3.2 KPSS

En segunda instancia se plantea el Contraste KPSS, lo que resulta en que

Resultados del Test KPSS (con tendencia)

Item	Valor
Estadístico de Test	0.2567046
Valor Crítico 10%	0.1190000
Valor Crítico 5%	0.1460000
Valor Crítico 2.5%	0.1760000
Valor Crítico 1%	0.2160000

Como resultado se rechaza la Hipótesis Nula de que la Serie sea Integrada de Orden 0, lo que nuevamente da un respaldo para la Aplicación de la Primera Diferencia Regular en los datos.

2.4 Serie Diferenciada de acuerdo a la Primera Diferencia Regular

La primera diferencia regular tiene como resultado una serie que adquiere un comportamiento más próximo al estacionario que la serie original. En principio es posible observar que la tendencia ha sido eliminada y la Media parece ser constante. No obstante, la Varianza no se comporta de forma constante.

En el primer gráfico se puede observar que la serie se comporta de forma similar en todos los años disponibles, con la excepción de los años 2019 y 2024, en los meses de setiembre y octubre en particular. Esto puede ser un indicio de un posible outlier que requiera intervención.

Del segundo gráfico se destaca los meses de marzo, junio, septiembre y diciembre, que presentan medias mayores en comparación al resto.

2.5 FAC y FACP de la Serie Diferenciada

Al analizar la Función de Autocorrelación de la serie de Cantidad de Personas con Deuda en Santander una vez aplicada la Primera Diferencia Regular (\(d=1\)), se observa que, aunque la tendencia lineal ha sido eliminada (lo que se corrobora con los tests de Dickey-Fuller Aumentado y KPSS), persisten patrones de Autocorrelación significativos.

Específicamente, se nota la presencia de coeficientes significativos en el rezago 3, en el rezago 6 y en el rezago 9, con una rápida aproximación a las bandas de confianza³.

De esta manera se puede destacar que las observaciones se encuentran autocorrelacionadas con sus valores de 3, 6 y 9 meses atrás. Este comportamiento sugiere la utilización, en principio, de un SARIMA(3,1,0)(0,0,0), bajo el argumento de que la FAC se comporta como la que presenta un AR(3) con \(\phi_1 = \phi_2 = 0\).

En la FACP, en cambio, se observa la significación de los coeficientes asociados a los dos primeros retardos. En conjunto con la significación del \(\hat{\rho}_1\) de la FAC es que se plantea la posibilidad de modelar la Estacionalidad por medio de un SARIMA(3,1,0)(0,1,1).

2.6 Dominio de Frecuencias: Análisis del Espectro de la Serie Diferenciada

El Espectro también muestra como la primera diferencia elimina el componente tendencial, al presentar bajos valores en las frecuencias más bajas. No obstante, realza el peso de las frecuencias que se encuentran en torno a \(\omega_{\max} = 2.12\).

Considerando que \(\text{per}(\omega_j) = \frac{2\pi}{\omega_j}\), entonces se tiene que \(\text{per}(\omega_{\max}) \approx 3\), lo que quiere decir que la aplicación de la primera diferencia regular tuvo como resultado el incrementar la importancia de los ciclos que se repiten cada 3 meses a la hora de explicar la variabilidad de la serie.

Sea \(j\) el índice de la observación y \(T = 75\) la cantidad de observaciones que componen a la serie. Entonces la frecuencia j-ésima viene dada por \(\omega_j = \frac{2\pi j}{T}\) con período \(\text{per}(\omega_j) = \frac{2\pi}{\omega_j} = \frac{T}{j}\). Considerando la frecuencia de espectro más alto identificada en el párrago anterior se obtiene que⁴ \(j_{\max} = 25\) con período \(3\).

PREGUNTA: El hecho de que los ciclos que más explican la varianza sean los de período 3 puede ir de la mano con lo que indicaba Lucca de que entran deudores a los 3 meses (2+1).

2.7 Serie Diferenciada de acuerdo a la Primera Diferencia Regular y Primera Diferencia Estacional (Trimestral)

2.8 Gráfico de la Serie Diferenciada Estacional

2.9 FAC y FACP de la Serie Diferenciada (Regular y Estacional)

2.10 Serie Diferenciada de acuerdo a la Primera Diferencia Regular y Primera Diferencia Estacional (Anual)

2.11 Gráfico de la Serie Diferenciada Estacional Anual

2.12 FAC y FACP de la Serie Diferenciada (Regular y Estacional Anual)

3 Modelos Propuestos

3.1 Exploración del Modelo SARIMA(10,1,0)(0,1,1)[12] con Intervención de Atípicos

Se propone un modelo SARIMA(10,1,0)(0,1,1)[12]. Dada la presencia de posibles valores atípicos, primero se realiza una detección y luego se incorporan como variables regresoras en el modelo final.

3.1.1 Detección y Tratamiento de Atípicos

3.1.2 Ajuste del Modelo

Coeficientes del Modelo SARIMA(10,1,0)(0,1,1)[12]

Characteristic	Beta	95% CI
ar1	0.00
ar2	0.44	0.22, 0.67
ar3	0.00
ar4	0.00
ar5	0.00
ar6	0.00
ar7	0.00
ar8	0.54	0.32, 0.75
ar9	0.00
ar10	-0.45	-0.68, -0.21
sma1	-0.58	-0.94, -0.21
AO10	18,873	15,972, 21,774
TC13	15,882	12,093, 19,670
AO37	9,092	6,569, 11,616
AO57	7,980	5,154, 10,807
TC59	-13,394	-17,310, -9,479
TC67	-12,837	-17,488, -8,185
Abbreviation: CI = Confidence Interval

3.1.3 Criterios de Información y Medidas de Error

Criterios de Información del Modelo 1

AIC	AICc	BIC
1136.328	1141.828	1159.366

Medidas de Error del Modelo 1

	ME	RMSE	MAE	MPE	MAPE	MASE	ACF1
Training set	263.9743	2186.251	1626.414	0.0633685	0.403833	0.06533	0.0795584

3.1.4 Diagnóstico de Residuos

3.1.4.1 Test de Ljung-Box

Test de Ljung-Box para Residuos del Modelo 1 (Rezagos 3-24)

statistic	p.value	parameter	method
1.248107	NaN	-1	Box-Ljung test
1.411975	0.0000000	0	Box-Ljung test
6.263667	0.0123239	1	Box-Ljung test
7.078768	0.0290312	2	Box-Ljung test
7.104869	0.0686293	3	Box-Ljung test
7.106165	0.1303831	4	Box-Ljung test
12.430543	0.0293416	5	Box-Ljung test
12.477901	0.0521182	6	Box-Ljung test
12.821984	0.0765663	7	Box-Ljung test
12.991337	0.1121480	8	Box-Ljung test
13.043489	0.1606483	9	Box-Ljung test
18.871069	0.0419312	10	Box-Ljung test
19.570506	0.0515905	11	Box-Ljung test
20.505001	0.0581160	12	Box-Ljung test
22.157453	0.0529697	13	Box-Ljung test
22.398485	0.0707889	14	Box-Ljung test
24.433773	0.0580840	15	Box-Ljung test
25.883952	0.0556831	16	Box-Ljung test
25.990864	0.0746271	17	Box-Ljung test
26.183989	0.0956249	18	Box-Ljung test
26.908453	0.1068036	19	Box-Ljung test
28.880643	0.0901363	20	Box-Ljung test

3.1.4.2 Análisis de Homocedasticidad y Normalidad

Tests de Normalidad para Residuos del Modelo 1

Test	statistic	p.value	method	parameter
Shapiro-Wilk	0.9855588	0.5723519	Shapiro-Wilk normality test	NA
Jarque-Bera	0.7247933	0.6960062	Jarque Bera Test	2

3.2 Exploración del Modelo SARIMA(1,1,0)(1,1,0)[3] en Logaritmos con Intervención de Atípicos

Para este modelo, se transforma la serie aplicando logaritmos para estabilizar la varianza. Luego, se ajusta un modelo SARIMA(1,1,0)(1,1,0)[3] con una periodicidad trimestral y se realiza un tratamiento de atípicos.

3.2.1 Transformación y Detección de Atípicos

3.2.2 Ajuste del Modelo

Coeficientes del Modelo SARIMA(1,1,0)(1,1,0)[3] (Log)

Characteristic	Beta	95% CI
ar1	0.00
sar1	-0.59	-0.81, -0.37
AO10	0.05	0.04, 0.06
TC13	0.05	0.04, 0.06
TC37	0.03	0.02, 0.04
LS52	-0.02	-0.03, -0.01
AO57	0.02	0.01, 0.03
TC59	-0.03	-0.04, -0.02
TC67	-0.03	-0.04, -0.02
Abbreviation: CI = Confidence Interval

3.2.3 Criterios de Información y Medidas de Error

Criterios de Información del Modelo 2 (Log)

AIC	AICc	BIC
-473.6646	-470.6138	-453.5576

Medidas de Error del Modelo 2 (Log)

	ME	RMSE	MAE	MPE	MAPE	MASE	ACF1
Training set	8.79e-05	0.0072485	0.0056338	0.0006689	0.0437564	0.0902781	0.0228487

3.2.4 Diagnóstico de Residuos

3.2.4.1 Test de Ljung-Box

Test de Ljung-Box para Residuos del Modelo 2 (Log, Rezagos 3-24)

statistic	p.value	parameter	method
2.057549	0.3574447	2	Box-Ljung test
2.178723	0.5361515	3	Box-Ljung test
2.432238	0.6568094	4	Box-Ljung test
3.817140	0.5760322	5	Box-Ljung test
4.257281	0.6419037	6	Box-Ljung test
6.366488	0.4976661	7	Box-Ljung test
6.620220	0.5781058	8	Box-Ljung test
6.907546	0.6467447	9	Box-Ljung test
8.719909	0.5588755	10	Box-Ljung test
9.399664	0.5850530	11	Box-Ljung test
10.697104	0.5550397	12	Box-Ljung test
10.708475	0.6352249	13	Box-Ljung test
11.087099	0.6791805	14	Box-Ljung test
11.314993	0.7299622	15	Box-Ljung test
12.118490	0.7357836	16	Box-Ljung test
13.051432	0.7327362	17	Box-Ljung test
13.130040	0.7837904	18	Box-Ljung test
13.257085	0.8251539	19	Box-Ljung test
13.555836	0.8522836	20	Box-Ljung test
14.711531	0.8371433	21	Box-Ljung test
14.731058	0.8735188	22	Box-Ljung test
14.732496	0.9039640	23	Box-Ljung test

3.2.4.2 Análisis de Homocedasticidad y Normalidad

Tests de Normalidad para Residuos del Modelo 2 (Log)

Test	statistic	p.value	method	parameter
Shapiro-Wilk	0.9877577	0.7062441	Shapiro-Wilk normality test	NA
Jarque-Bera	2.3098553	0.3150803	Jarque Bera Test	2

3.3 Exploración del Modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1)[12] con Intervención de Atípicos

Finalmente, se explora un modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1)[12]. Este modelo se especifica como un (3,1,0) con coeficientes fijados en cero para ar1 y ar3, y también incluye el tratamiento de valores atípicos.

3.3.1 Detección y Tratamiento de Atípicos

3.3.2 Ajuste del Modelo

Coeficientes del Modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1)[12]

Characteristic	Beta	95% CI
ar1	0.00
ar2	0.42	0.17, 0.67
ar3	0.00
sma1	-0.49	-0.82, -0.16
AO10	18,400	14,908, 21,893
TC13	16,764	11,686, 21,842
TC37	11,336	7,379, 15,294
AO51	5,853	2,791, 8,915
AO57	8,021	4,807, 11,235
TC59	-10,518	-14,670, -6,365
TC67	-12,104	-16,510, -7,698
Abbreviation: CI = Confidence Interval

3.3.3 Criterios de Información y Medidas de Error

Criterios de Información del Modelo 3

AIC	AICc	BIC
1140.19	1144.68	1161.133

Medidas de Error del Modelo 3

	ME	RMSE	MAE	MPE	MAPE	MASE	ACF1
Training set	381.8462	2413.67	1819.681	0.0906589	0.4507534	0.0730932	0.0955759

3.3.4 Diagnóstico de Residuos

3.3.4.1 Test de Ljung-Box

Test de Ljung-Box para Residuos del Modelo 3 (Rezagos 3-24)

statistic	p.value	parameter	method
3.501921	0.0612977	1	Box-Ljung test
4.085525	0.1296700	2	Box-Ljung test
4.141873	0.2465464	3	Box-Ljung test
4.144330	0.3868252	4	Box-Ljung test
5.147022	0.3982023	5	Box-Ljung test
9.573195	0.1438149	6	Box-Ljung test
11.931261	0.1028422	7	Box-Ljung test
14.733113	0.0645474	8	Box-Ljung test
14.736695	0.0984271	9	Box-Ljung test
15.084028	0.1290283	10	Box-Ljung test
15.339459	0.1674778	11	Box-Ljung test
17.977379	0.1163791	12	Box-Ljung test
18.529671	0.1384237	13	Box-Ljung test
18.529790	0.1837054	14	Box-Ljung test
22.290939	0.1003991	15	Box-Ljung test
26.970796	0.0418089	16	Box-Ljung test
27.057898	0.0572241	17	Box-Ljung test
27.910357	0.0634325	18	Box-Ljung test
30.009150	0.0516821	19	Box-Ljung test
31.030697	0.0547865	20	Box-Ljung test
31.182087	0.0706805	21	Box-Ljung test
31.555875	0.0852894	22	Box-Ljung test

3.3.4.2 Análisis de Homocedasticidad y Normalidad

Tests de Normalidad para Residuos del Modelo 3

Test	statistic	p.value	method	parameter
Shapiro-Wilk	0.9858775	0.5913473	Shapiro-Wilk normality test	NA
Jarque-Bera	0.2753770	0.8713701	Jarque Bera Test	2

3.4 Comparación de Modelos SARIMA

Footnotes

1. En el presente trabajo se utilizará como sinónimos “estacionariedad en sentido débil”, “estacionariedad en covarianza” y “estacionariedad”, al igual que se hizo durante el desarrollo del curso.

2. Corresponde resaltar, sin embargo, que la relación entre el área que se encuentra por debajo del Espectro/Periodograma y la Varianza de la serie se plantea para series estacionarias, propiedad que claramente no caracteriza a la serie en tratamiento.

3. El coeficiente asociado al rezago 12 también es significativo, aunque como su magnitud es mayor a la del coeficiente del rezago 9 se decide, en principio, trabajar con los rezagos \(k = 3, 6, 9\).

4. Dado \(\omega_j = 2.12 = \frac{2\pi j}{75}\) y despejando \(j\) se obtiene \(j_{\max} \approx 25\).